带符号数的表示

    上面提及的二进制数没有涉及符号问题，而实际上数有正、负之分。下面就此进行讨论。为叙述方便，先引进两个名词：机器数和真值。将一个数在机器中的表示形式，即编码称为机器数，将数本身称为真值。常用的机器数有三种：原码、补码和反码。

    1．原码

    1)通俗定义

    将数的符号数码化，即用一个二进制位表示符号：对正数，该位取0，对负数，该位取1。

而数值部分保持数的原有形式(有时需要在高位部分添几个0)。这样所得结果为该数的原码表示。

    例，x=+1001010，y= -1001010，z= 一1110(= 一0001110)。当原码为8位时，x、y和z的原码分别是：

    [x]原=01001010；

    [y]原=11001010；

    [Z]原=10001110．

其中最高位为符号位。

    2)正规定义

其中，x为真值，n为原码的位数。这个定义实际是将真值的范围给出来了，当n=8时，一27<x<27，因而，其数值部分写成二进制形式，最多为7位。从该定义可看出，x为正数时，其原码还是数本身，第8位(符号位)补0；x为负数时，一x等于去掉负号，但要加上27，即第8位为1(27=10000000(2))。因此，这个定义和上面的通俗定义是一致的。 

  3)原码表示的特点

  原码表示有三个主要特点：一是直观，与真值转换很方便；二是进行乘、除运算方便；三是加、减运算比较麻烦。第一点是显然的。说原码表示进行乘、除运算方便是因为其数值部分保持了数据的原有形式，对数值部分进行乘或除就可得到积或商的数值部分，而积或商的符号位可由两个数原码的符号位进行逻辑运算而得到。说原码表示进行加、减运算比较麻烦，以加法为例，两个数相加需先判别符号位，若其不同，实际要做减法，这时需再判断绝对值的大小，用绝对值大的数减绝对值小的数，最后还要决定结果的符号位。

2．补码

    1)补码的引进和定义

    据统计，在所有的运算中，加、减运算要占到80％以上，因此，能否方便地进行正、负数加、减运算，直接关系到计算机的运行效率。

    如日常生活中的一个例子——指针式钟表。现在时针指向11点钟，要使其指向6点钟，有两种方法，一是正拨7个格，二是反拨5个格。如果把钟表看成一个计算器，正拨看成加运算，反拨看成减运算，那么，在钟表上有：1l一5=11+7，即11+(一5)=lI+7。之所以这样，是因为11+7=12+6，而在钟表上，12相当于0，超过12时，12就丢失了。这种运算称为按模运算。钟表的模为12。所谓“模”，是指一个系统的量程，或者说一个系统所能表示的最大的数(确切地说，为最大数时加1)。按模运算是指运算结果超过模时，模丢失。当模为整数时，按模运算也可理解成除以模求余数的过程。常用符号“mod”表示按模运算。

    在计算机中，一个具体数据类型的位数是确定的。例如，字节型数据为8位，当每一位都为1时，再加1，最高位将产生进位。如果不采取措施，这个进位将被丢失，丢失的量为28=256，这就是8位数据的模。从上面的例子已看到，按模运算，可以使正数加负数转化成正数加正数(1l一5=11+7)，一个负数可以等价于一个正数(一5等价于+7)。看一下计算机中情况。例如，要将+0001111(15)和一0001100(一12)相加，实际是要做减法，但不这样做，而是先将一0001100与模100000000(256)相加，得ll110100(一12+256=244)，再拿原被加数0001111和它(11110100)相加，得0000001l(15+244=256+3=3)，最高位的进位，即模丢失。

这样，同样得到了正确结果。由此可见，在计算机中，只要将负数加模就可以转化成正数，使正数加负数转化成正数加正数。

    把一个负数加模的结果称为该负数的补码(结果是一个正数，它和该负数是等价的，确切地说，是一对一的，因而可看作是该负数的编码)，定义正数的补码就是它本身，符号位取0，即和原码相同。这就是补码的通俗定义。将这个定义用数学形式表示出来，就可得到补码的正规定义：

其中n为补码的位数。这个定义实际也将真值的范围给出来了，当n=8时，一27≤x<27。和原码相比，补码表示可多表示一个数。当n=8时，多表示的数是一27=一128。

  2)补码的求法

  对正数，补码同原码。例如，x=+0101001，[x]补=[x]原=00101001。对负数，由定义求补码，需做减法，不方便。经推导可知，负数的补码等于其原码除符号位外按位“求反”(1变0，0变1)，末位再加1。例如，y=一0001100，[y]原=10001100，[Y]补=11110011+1=11110100。

    多做几例，可得出一种心算求补的方法——从最低位开始至找到的第一个1均不变，符号位不变，这之间的各位“求反”(该方法仅用于做题)。

    由求补的方法可以看出，对于补码，其符号位和原码的符号匣相同，也表示了真值的符号。

    3)补码的性质

    补码的性质主要有三条：

    ①[x+y]补=[x]补+[y]补，即两数之和的补码等于各自补码的和。

    ②[x—y]补=[x]补+[一y]补，即两数之差的补码等于被减数的补码与减数相反数的

补码之和。

    ③[[x]补]补=[x]原，即按求补的方法，对[x]补再求补一次，结果等于[x]原。

    4)利用补码进行加、减运算

    引进补码的目的是方便带符号数的加、减运算，这里仅看一下加法，举几个例子。请注意：符号位也参与运算，符号位出现的进位为模，应丢弃。下面是三个利用补码求和的例子。

这里假定机器数为8位。

符号位为0，真值为正，所以，x+Y，=+000101l(2)(+11)。

符号位有进位，自动丢失。符号位为1，真值为负，对[x+y]补求补得

    [x+Y]原=10001011，由此，x十Y= 一000101l(一11)。

符号位有进位，自动丢失。符号位为O，真值为正，所以，x+Y=+000011l(+7)。

    上面是三种类型的数的补码运算：正数+正数、负数+负数、正数+负数。负数+正数和正数+负数是一样的。由此可见，采用补码表示，进行数的加法运算可统一成进行数的补码加法运算。

    上面的例子只是用来说明引进补码的好处，其运算过程不是计算机的实际过程。在计算机中不必每次都进行原码与补码之间的转换，可以将运算结果以补码形式存储起来，以便直接参与后面的运算。

    3．反码简介

    对正数，其反码与原码相同，也与补码相同。对负数，其反码等于原码除符号位外，按位求反(末位不加1)。利用反码也可使带符号数的加、减法转化为单纯的加法，但麻烦一些。

一般把求反码作为求补的中间过程，即[x]补=[x]反+1。

    上面所介绍的机器数编码主要用于汇编语言编程。在高级语言中，数可带有符号，但编译程序最终还是将其表示成机器数。